מציאת פרמטר בהינתן נקודת קיצון תרגיל 2חקירת פונקציות 571 · שיעור 58

שיעור 58: מציאת פרמטר בהינתן נקודת קיצון תרגיל 2

חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571

מציאת פרמטר סעיפי א בבגרות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = m − 4x(x − 1)² , m הוא פרמטר.

לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = 3 .

א.מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

ב.מצא את ערך הפרמטר m .

🔷 סעיף א

סעיף א: מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)

דורשים שהמכנה יהיה שונה מ־0:

(x − 1)² ≠ 0

אם מציבים x = 1 במכנה, מקבלים 1 − 1 = 0 , ו־0² = 0 . אסור שהמכנה יהיה 0.

✅ x ≠ 1

🔷 סעיף ב

סעיף ב: מצא את ערך הפרמטר m

נתון: x = 3 נקודת קיצון. לכן גוזרים, משווים ל־0 ומציבים x = 3 .

נגזרת המונה: m הוא מספר והנגזרת שלו 0, ולכן:

(m − 4x)' = −4

נגזרת המכנה, בצד, בשתי דרכים:

דרך ראשונה, נגזרת של פונקציה מורכבת (נגזרת פנימית של x − 1 היא 1):

((x − 1)²)' = 2(x − 1)¹ · 1

= 2(x − 1) = 2x − 2

דרך שנייה, פותחים סוגריים לפי כפל מקוצר ואז גוזרים:

(x² − 2x + 1)' = 2x − 2

נגזרת מנה:

f'(x) =

🔷 סעיף ב · המשך

f'(x) =

−4(x − 1)² − (m − 4x)(2x − 2)((x − 1)²)² = 0

כופלים במכנה ומבטלים אותו, ומציבים x = 3 :

−4(3−1)² − (m−4·3)(2·3−2) = 0

מחשבים:

(3 − 1)² = 2² = 4

2 · 3 − 2 = 4

−16 − 4(m − 12) = 0

פותחים סוגריים:

−16 − 4m + 48 = 0

32 − 4m = 0

🔷 סעיף ב · המשך

32 − 4m = 0

32 = 4m / :4

✅ m = 8

✅ סיימנו!

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא